Inferencias relativas a la pendiente de la recta de regresión

 
      
En este tema queremos desarrollar una ecuación para expresar la relación lineal (en línea recta) entre dos variables. Además, queremos estimar el valor de la variable dependiente Y con base en un valor seleccionado de la variable independiente X.

Las inferencias acerca  de la pendiente de la recta de regresión son importantes dado que la relación entre las  dos variables en cuestión depende de ella precisamente, es decir, si la pendiente de la recta de regresión es positiva, entonces la naturaleza de la relación entre ambas variables será positiva  y la pendiente de la recta es negativa, entonces la relación entre las variables será negativa.

FORMULA GENERAL DE LA ECUACION DE REGRESION LINEAL    Y’= a + bx

Donde:

Y’ Es  el valor que se predijo de la variable Y para un valor X seleccionado

Es la intersección Y. Es el valor estimado de Y cuando X=0. En otras palabras, a es el valor estimado de Y donde la línea de regresión cruza el eje Y cuando X es cero.

b Es la pendiente de la recta, o el cambio promedio en Y’ para cada cambio  de una unidad (ya sea aumento o reducción) en la variable independiente X.

X Es cualquier valor de la variable independiente que se seleccione.

PENDIENTE DE LA RECTA DE REGRESION   b = r (sy/sx) 
   
Donde:

r Es el coeficiente de correlación.

Sy  Es la desviación estándar de Y (la variable dependiente)

SEs la desviación estándar de X (la variable independiente)       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Esta recta tiene algunas características interesantes. Como ya sabemos no hay ninguna otra recta a través de los datos para la cual la suma de las desviaciones cuadradas sean mínimas. Además, esta recta va a pasar a través de los puntos representados por la media de los valores X y la media de los valores Y; es decir, X y Y.

INTERSECCION CON EL EJE Y  a = X -b Y

Donde:

Y Es la media de Y (la variable dependiente).

X Es la media de X (la variable independiente).

Pero cuando la pendiente de la recta de regresion es negativa, es decir que dicha ecuacion  tenga esta forma Y’ = a – bx entonces la relacion existente entre las variables es de tipo negativa, lo cual quiere decir, que  a incrementos en los valores de la variable independiente y la variable dependiente tiene con decrementos.
 
 
 
 
 
 

Hasta el momento  hemos presentado la regresion lineal solo  como una herramienta descriptiva. En otras palabras, es un simple resumen ( Y’ = a + bx)  de la relacion  entre la  variable independiente Y y la Variable independiente X. Cuando nuestros datos son una muestra tomada de una poblacion, realizamos estadfistica inferencial. Luego, necesitamos  recordar la distincion entre los parametros de la poblacion y los estadisticos de prueba. En este caso  utlilizaremos la relacion lineal en la poblacion mediante la ecuacion.
                                            
                                                                 Y = a + BX
Donde:

Y Es cualquier valor de la variable independiente.

α Es la interseccion Y(el valor de Y cuando X=0) en la poblacion.

β Es la pendiente (la cantidad en la que Y cambia cuando X aumenta en una unidad) de la recta en esta ecuacion.

X Es cualquier valor de la variable independiente.
 
CONSIDERACIONES NECESARIAS PARA APLICAR LA REGRESION LINEAL

1.Para cada  valor de X, hay un grupo de valores Y. Estos ultimos siguen la distribucion normal.

2.Las medias se estas distribuciones normales se encuientran en la recta  de regresion.

3.Todas las desviaciones estandar de estas distribuciones normales son iguales. El mejor estimado que tenemos de
esta desviacion estandar comun es el error estandar de estimacion (SYX).

4.Los valores Y son estadisticos independientes. Esto significa que al seleccionar una muestra en particular X no depende de ningun otro valor de X. Esta suposicion es importante sobre todo cuando los datos se recopilen durante un periodo prolongado.
 
 
 
EJERCIOCIO 1

Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
 

Matemáticas 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 10 10
Física 1 3 2 4 4 4 6 4 6 7 9 10
 
Hallar las rectas de regresión y representarlas.
xi yi xi ·yi xi2 yi2
2 1 2 4 1
3 3 9 9 9
4 2 8 16 4
4 4 16 16 16
5 4 20 25 16
6 4 24 36 16
6 6 36 36 36
7 4 28 49 16
7 6 42 49 36
8 7 56 64 49
10 9 90 100 81
10 10 100 100 100
72 60 431 504 380
 
 a) Hallamos las medias aritméticas.

X = 72/12 = 6                          Y = 60/12 = 5
 
b) Calculamos la covarianza.

 431/12 - 6.5 = 5.92

  c) Calculamos las varianzas.

  d) Recta de regresión de Y sobre X.

 e) Recta de regresión de X sobre Y.

 
 
 
EJERCIOCIO 2
Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (y) que circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h , puede ponerse en función del número de accidentes (x) que ocurren en ella. Durante 5 días obtuvo los siguientes resultados:
Accidentes xi 5 7 2 1 9
Número de vehículos yi 15 18 10 8 20
 

•  Calcula el coeficiente de correlación lineal.
•  Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que circulaban por la autopista a más de 120 km / h?
•  ¿Es buena la predicción?
Construimos una tabla, teniendo en cuenta que la frecuencia absoluta es uno. Debemos conocer la media aritmética de las dos variables, las varianzas, las desviaciones típicas y la covarianza.
 

    Media aritmética Varianza Covarianza
  fi xi yi xi2 yi2 xi . yi
  1 5 15 25 225 75
  1 7 18 49 324 126
  1 2 10 4 100 20
  1 1 8 1 64 8
  1 9 20 81 400 180
5 24 71 160 1113 409
 

 

 
 
 
 
 
 
EJERCIOCIO 3

Las calificaciones de 40 alumnos en psicología evolutiva y en estadística han sido las de la tabla adjunta.
 

Psicología xi

3 4 5 6 6 7 7 8 10
Estadística yi 2 5 5 6 7 6 7 9 10
Nº de alumnos fi 4 6 12 4 5 4 2 1 2
 

a) Obtener la ecuación de la recta de regresión de calificaciones de estadística respecto de las calificaciones de psicología.
b) ¿Cuál será la nota esperada en estadística para un alumno que obtuvo un 4,5 en psicología?
 
 

        Media aritmética Varianza Covarianza
  xi yi Fi fi . xi fi . yi fi . xi2 fi . yi2 fi . xi . yi
  3 2 4 12 8 36 16 24
  4 5 6 24 30 96 150 120
  5 5 12 60 60 300 300 300
  6 6 4 24 24 144 144 144
  6 7 5 30 35 180 245 210
  7 6 4 28 24 196 144 168
  7 7 2 14 14 98 98 98
  8 9 1 8 9 64 81 72
  9 10 2 20 20 200 200 200
    40 220 224 1314 1378 1336
 


 

 

 
 
 
 
 
 
 

Anonymous

Andy

07 Jul 2011 - 10:48 pm

2, 3

Anonymous

Terrry

07 Jul 2011 - 10:47 pm

Bien

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